Einsteins Rechenfehler

(zuletzt bearbeitet im Juni 2022)

1. In Einsteins mathematischen Szenarium zur speziellen Relativitätstheorie wird in einem auf der x-Achse mit der Geschwindigkeit v bewegten Koordinatensystem ein Lichtblitz gezündet. Dann stellt Einstein die Frage, welche Geschwindigkeit dieses Licht im ruhenden Koordinatensystem hat.

Hierbei ist zu beachten, dass Einstein zwei Voraussetzungen postuliert. Erstens wird die Lichtgeschwindigkeit nicht durch die Bewegung der Lichtquelle beeinflusst. Zweitens hat das Licht in allen gleichmäßig geradlinig bewegten Systemen dieselbe Geschwindigkeit, gleich in welchem System die Lichtquelle sitzt.

Einsteins daraus resultierende Überlegungen für den senkrecht auf der y-Achse laufenden Lichtstrahl sind in der Literatur anhand des bekannten rechtwinkligen Dreiecks ABC beschrieben. Der Lichtstrahl, der im bewegten System die Geschwindigkeit c hat, hat aus Sicht eines ruhenden Beobachters die Geschwindigkeit
V¯c² - v², wenn man Einsteins Postulate voraussetzt und der Einstein-Logik folgt.


2. Betrachten wir nun die auf der x-Achse, parallel zur Bewegungsrichtung des Systems, laufenden Lichtstrahlen.

B'..........C'..................A............................B.......C

Der von der Lichtquelle A in Bewegungsrichtung nach B laufende Lichtstrahl ist im ruhenden System ein Lichtstrahl A-C, der in die Gegenrichtung laufende Lichtstrahl A-B' ist im ruhenden System ein Lichtstrahl A-C'. Die Lichtgeschwindigkeit als Summe der Vektoren c und v beträgt im ersten Fall c + v, im zweiten Fall c -v.

Beachtet man jedoch die Postulate Einsteins, so hat im ruhenden System der Lichtstrahl A-C die Geschwindigkeit c, woraus der ruhende Beobachter für den Lichtstrahl A-B im bewegten System die Geschwindigkeit c - v errechnet. Die entsprechende Rechnung für den Lichtstrahl in der Gegenrichtung ergibt c + v.  Siehe hierzu die Gleichungen in Einsteins Text von 1905 (Seite 898 unten bis Seite 900 oben), wo Einstein mit den Lichtgeschwindigkeiten c - v und c + v rechnet.


3. Einsteins Rechenfehler 
Gleich wie man es dreht und wendet, die beiden Lichtstrahlen auf der x-Achse haben "aus Sicht" des anderen Koordinatensystems unterschiedliche Geschwindigkeiten, nämlich  c - v und c + v, wie Einstein selbst als Zwischenergebnis ermittelt . Daraus kann niemals das von Einstein erzielte einheitliche Ergebnis von V¯c² - v²  für jeden der beiden Lichtstrahlen resultieren.

In der relativistischen Literatur findet man unterschiedliche Wege, die zum Ergebnis führen, dass aus Sicht des ruhenden Systems das Licht auf der x-Achse des bewegten Systems die einheitliche Geschwindigkeit V¯c² - v² hat. Dabei wird meist Einsteins Szenarium zugrunde gelegt, in welchem der Lichtstrahl A - B reflektiert wird, und man nimmt aus c - v und c + v den Durchschnitt c. Anschließend greift man auf die spezielle Messvorschrift Einsteins zurück: Die Zeitdehnung führt zur scheinbaren Längenkontrakion auf der x-Achse, wodurch c zu V¯c² - v² wird.

Diese abwegige Gedankenakrobatik täuscht darüber hinweg, dass die gegenläufigen Lichtstrahlen A - B und A - B' aus Sicht des ruhenden Systems unterschiedliche Geschwindigkeiten haben. Die rechnerische  Durchschnittsgeschwindigkeit von zwei gegenläufigen Lichtstrahlen ist aber ohne Interesse für die Transformation der bewegten Lichtkugelwelle in das ruhende System. Einstein hat sein Szenarium vermutlich aus der Mathematik zum Michelson-Morley-Experiment übernommen, wo der Lichtstrahl AB tatsächlich reflektiert wird. Will man aber, wie Einstein, die einzelnen Lichtstrahlen in das andere Koordinatensystem transformieren, dann muss das für jeden Lichtstrahl getrennt erfolgen. 

Randbemerkung: Die Lichtgeschwindigkeit V¯c² - v² soll laut Literatur auf der y-Achse ein realer Effekt sein, die Längenkontraktion auf der x-Achse und somit die daraus folgende Lichtgeschwindigkeit V¯c² - v² auf der x-Achse nur ein Scheineffekt.   

Den Hinweis, dass Einstein die bewegte Lichtkugelwelle fehlerhaft in das ruhende System transformiert, verdanke ich der Mathematikerin Gertrud Walton.